В 1933 г., после прихода к власти нацистов, семья Бирнбаум покинула Германию и обосновалась в Лондоне, где Якоб стал Джейкобом. Он работал в различных еврейских организациях, помогавших выжившим в Холокосте, бывшим узникам ГУЛАГа и североафриканским евреям, бежавшим от гражданской войны в Алжире. В 1964 г. Бирнбом перебрался в Нью-Йорк и организовал кампанию поддержки советских евреев. Он считается одним из основателей Движения за освобождение советского еврейства. Организованные им демонстрации еврейских студентов перед советской миссией в ООН под лозунгом “Let My People Go!”, так же как меры, предпринятые Конгрессом и американской дипломатией, помогли полутора миллионам человек, в основном евреев, покинуть Советский Союз. В 2007 г. Университет Ешива наградил Бирнбома почётной степенью доктора гуманитарных наук.

Имя Джейкоб - английская форма библейского имени Иаков. Фамилия Бирнбаум произошла от немецких слов Birn - "груша" и Baum - "дерево".