Моше учился в ешивах Слуцка, Шклова и Мстиславля, после окончания учёбы был назначен раввином Любани, затем раввином Узды. После установления советской власти Файнштейн подвергся гонениям, но продолжал соблюдать все еврейские обряды в общине, к нему приходили вопросы от многих общин Белоруссии. В 1936 г. Файнштейн, благодаря ходатайству родственников, получил разрешение эмигрировать в США. Он обосновался в Нью-Йорке и занял пост главы месивты "Тиферес Йерушалаим" С этого времени месивта начала привлекать учеников из многих общин Америки. В 1943 г. Файнштейн принял участие в "марше раввинов", требовавших от президента вмешательства в уничтожение евреев Европы. Литературная деятельность рава отличалась новаторским подходом, она затрагивала различные стороны технологического прогресса, отражая незаурядную эрудицию автора. Рав Файнштейн возглавлял объединение ортодоксальных раввинов и совет Агудат Исраэль начиная с 1960-х годов. Многие известные раввины признавали Файнштейна выдающимся раввином поколения. Он автор книги "Игрот Моше" - сборника ответов рава на письма, присланные ему с галахическими вопросами, касающимися всех аспектов жизни, от абортов до использования новшеств технологии в шабат. Он был президентом Союза ортодоксальных раввинов и председателем Совета знатоков Торы американского центра "Агуддат Исраэль".. У р. Файнштейна было пятеро детей. Похоронен в Иерусалиме на Хар ха-Менухот.
 

Моше (Моисей) - библейское имя. Фамилия Файнштейн образована от немецких слов fein - "утончённый" и Stein - "камень".