Эллиотт родился в семье евреев - иммигрантов из Российской империи, Он окончил нью-йоркский Сити-колледж в 1947 г., получил докторскую степень по химии в Мичиганском университете (Анн-Арбор, Мичиган, 1954 г.). Он работал в отделе химической инженерии Аргоннской национальной лаборатории, а затем много лет преподавал химию в колледже Прейри в Чикаго-Хайтс., Иллинойс. Эллиотт  был членом Американского химического общества, автором ряда научных статей в области химической технологии и физической химии. Эллиот сыграл важную роль в создании Южной пригородной синагоги в Парк-Форест в округе Кук, штат Иллинойс, и в течение многих лет активно участвовал в Совете директоров синагоги, занимая различные посты, включая пост президента. В 2022 году Эллиотт Гринберг учредил Фонд Джонатана и Эми Гринберг для изучения болезни Канавана, названный в память о его внуках, умерших от этой болезни. У Эллиотта было трое детей. Он похоронен в Мемориальном парке Шалом, Арлингтон-Хайтс, Иллинойс.

Имя Эллиот происходит от названия реки и города Эллиот в Шотландии. Фамилия Гринберг произошла от немецких слов gruen - "зелёный" и Berg - "гора".