Вскоре после рождения Тони его семья переехала в Лэйк-Чарльз, Луизиана, где прошло его детство. В 1974 г. он поступил в Колумбийский университет в Нью-Йорке (бакалавр искусств, 1978). В 1978-84 гг. изучал режиссуру в Нью-Йоркском университете, писал пьесы и сценарии, поставил несколько спектаклей для детей. Получил почётную степень доктора литературы в Пурчез-колледже (Университет штата Нью-Йорк, 2008).

Самая известная работа Кушнера - пьеса в двух частях "Ангелы в Америке", за которую Кушнер был удостоен Пулитцеровской премии и премии Тони. Он также автор ещё нескольких пьес и нового перевода исторической драмы Брехта "Матушка Кураж и её дети" (премьера состоялась в 2006 г. в Театре "Делакорт" с Мэрил Стрип в главной роли).

Особую популярность ему принёс сценарий минисериалa "Ангелы в Америке" по его собственной пьесе (режиссёр Майк Николс, 2003, в главных ролях - Аль Пачино и Мэрил Стрип). Картина собрала пять премий "Золотой Глобус" и с десяток Эмми и Грэмми. Вместе с Эриком Ротом Кушнер написал сценарий фильм "Мюнхен" (2005), режиссёром которого был Стивен Спилберг. Сценарий был номинирован на премии Оскар и "Золотой Глобус". Кушнер также является автором сценария биопика "Линкольн", поставленного Спилбергом в 2012 г.

Кушнер - открытый гомосексуалист; неоднократно критиковал политику Израиля с “левых” позиций. В 2015 г. его имя было внесено в Зал славы американского театра (в нью-йоркском театре "Гершвин").

Имя Энтони (уменьшительное - Тони) - английская форма римского имени Antonius, этрусского происхождения. Имя Роберт происходит от германского имени Хродеберт, что означает "яркая слава". Фамилия Кушнер в переводе с идиш означает "кожевник".