Семья Шапиро приехала в Соединённые Штаты в 1907 г., поселилась в Бруклине. Отец Морриса занимался оптовой торговлей бумагой и канатами, а также писал статьи по философским вопросам. Моррис прекрасно учился в школе, в 16 лет поступил в Колумбийский университет по стипендии Пулитцера. Он возглавлял шахматную команду Колумбийского университета на четырёх национальных чемпионатах. В 1920 г. он занял 3-е место на первенстве Нью-Йорка, дважды выигрывал чемпионат Манхэттена (в 1921 и 1922 годах), разделил 4-5 место на первенстве Нью-Йорка 1924 года (1-е место занял Капабланка). Моррис получил степень магистра инженерного дела в Колумбийском университете в 1925 году. Позже он занимал пост главы собственной инвестиционно-банковской фирмы "М. А. Шапиро и компания". Он создал новые бизнес-методы для банковской отрасли, возглавлял крупнейшие слияния в отрасли: Chase Bank и Bank of Manhattan в 1955 г., затем Chemical Bank и New York Trust в 1959-м. Шапиро был в числе основных доноров Колумбийского университета. Одно крыло Бруклинского музея с 1993 года называется Morris A. and Meyer Schapiro Wing в честь Морриса и его брата Мейера Шапиро (1904-1996), известного американского историка искусства.

Имя Моррис восходит к латинскому имени Mauritius со значением "мавр, темнокожий". Фамилия Шапиро происходит от арамейского слова шапир и означает "красивый".